円が衝突したときの動き

2019/01/18	円が衝突したときの動き	\| by:YAS

　Pythonista3で簡単なゲームをつくるために，ビリヤードのように平面上で円がぶつかる際の円の動きについて，高校時代のチャート式代数・幾何をひっぱりだしてきて考えてみた。奥付を見ると，昭和６１年の改訂新版第２刷とあるが，まぁこんな基本的なことは３０年やそこらでは変わらないであろう。

　下の図のように， $\vec{v_{1}}$ で移動する円O₁と静止している円O₂が衝突するとする。また，衝突した瞬間の円O₁の中心の座標は(x₁, y₁)，円O₂の中心を座標を(x₂, y₂)とする。

「チャート式基本事項６ベクトルの表し方」より

　任意のベクトルは，ただ一通りに，下の式の形で表される。

　　　 $\vec{p}=k\vec{a}+l\vec{b}$ 　（ $k$ と $l$ は実数）

　円の中心と中心を結んだ向きのベクトルを $\vec{a}$ ， $\vec{a}$ に垂直なベクトルを $\vec{b}$ とすると，下の式で表すことができる。

　　　 $\vec{v_{1}}=k\vec{a}+l\vec{b}$ 　

「チャート式基本事項１０垂直条件」より

　　　 $\vec{a}\perp\vec{b}\;\Longleftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

　よって， $\vec{a}=(a_{1},\;b_{1})$ ， $\vec{b}=(a_{2},\;b_{2})$ 　とすると，

　　　 $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=0$

　上の垂直条件は，　 $b_{1}=a_{2}$ ， $b_{2}=-a_{1}$ のときにも成り立つ。よって，下の図のように，以下の式が成り立つ。

　　　 $\vec{v_{1}}=k\vec{a}+l\vec{b}$
　　　 $\vec{a}=(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1})$
　　　 $\vec{b}=(y_{2}-y_{1},\;-(x_{2}-x_{1}))$

　 $\vec{v_{1}}=(a,\;b)$ とすると，以下の式が成り立つ。
　　　
　　　 $\begin{eqnarray}a&=&k(x_{2}&-&x_{1})&+&l(y_{2}&-&y_{1})\\b&=&k(y_{2}&-&y_{1})&-&l(x_{2}&-&x_{1})\end{eqnarray}$

　 $X=x_{2}-x_{1}$ ， $Y=y_{2}-y_{1}$ とすると，

　　　 $\begin{eqnarray}a&=&kX&+&lY\;\cdots\;\text(1)\\b&=&kY&-&lX\;\cdots\;\text(2)\end{eqnarray}$

　これらを $k$ と $l$ について解くと，下のようになる。

　　　(1)の両辺にXをかけると，
　　　 $aX=kX^2+lXY\;\cdots\;\text(3)$
　　　(2)の両辺にＹをかけると，
　　　 $bY=kY^2-lXY\;\cdots\;\text{(4)}$

　　　(3)と(4)の両辺を足すと，
　　　 $aX+bY=kX^2+kY^2$

　　　よって，
　　　 $k=\frac{aX+bY}{X^2+Y^2}$

　 $k$ がもとめられれば， $l\vec{b}=\vec{v_{1}}-k\vec{a}$ で $l\vec{b}$ も簡単に求められるため，わざわざ $l$ を求める必要はないが，一応続きを書いてみる。

　　　同様に，(1)の両辺にYをかけると，
　　　 $aY=kXY+lY^2\;\cdots\;\text(5)$
　　　(2)の両辺にXをかけると，
　　　 $bX=kXY-lX^2\;\cdots\;\text(6)$

　　　(5)から(6)の両辺を引くと，
　　　 $aY-bX=lY^2+lX^2$

　　　よって，
　　　 $l=\frac{aY-bX}{X^2+Y^2}$

　円がぶつかったときに，静止している円O₂に $k\vec{a}$ の速度ベクトルが加わり，移動している円O₁から $k\vec{a}$ の速度ベクトルが失われる。
　両方の円が移動している場合は，入れ替えて考え，速度ベクトルを合成する。

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